ECUACIÓN DE BERNOULLI

ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli es eficaz y útil porque relaciona los cambios de presión con los cambios en la velocidad y la altura a lo largo de una línea de corriente. Para poder aplicarse, el flujo debe cumplir con las siguientes restricciones:

a) Flujo estable.

b) Flujo incompresible.

c) Flujo sin fricción.

d) Flujo a lo largo de una línea de corriente.

PRINCIPIO DE BERNOULLI:

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:

donde P es la presión hidrostática, ρ la densidad, g la aceleración de la gravedad, h la altura del punto y v la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.

Para un flujo horizontal

  p + ½ rv2 = constante

La presión en menor donde la velocidad del fluido es mayor y viceversa.

Te invitamos a que ingreses al link y aprendas mas acerca de la aplicación de la ecuación de bernoulli:
https://www.youtube.com/watch?v=kD9aD4nx_sk

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

El flujo de un líquido lo podemos entender como el volumen por unidad de tiempo que pasa por un punto determinado.

Cuando un fluido se encuentra en movimiento puede cambiar su velocidad. Se puede decir que la velocidad de los fluidos es mayor en aquellas zonas donde ocupa menor área. Por ejemplo, si estamos regando el jardín con una manguera y podemos un dedo en la salida del agua vemos que la velocidad de salida de este líquido aumenta debido a que el área disminuye.

Imaginemos un fluido incomprensible, es decir, su densidad no varía, que se mueve por tubo de diámetro variable como muestra la figura.

La ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en la hidrodinámica. Para la formulación de la ecuación de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenómenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuación es clave para la interpretación de los fenómenos reales, los cálculos derivados de su uso serán siempre una aproximación a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

Antes de entrar en el tema que nos ocupa debemos definir algunos conceptos importantes y útiles para la comprensión:

1. Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.
2. Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.
3. Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen  cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.
4. Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Entrando en la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

1. El fluido es incompresible.
2. La temperatura del fluido no cambia.
3. El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del tiempo.
4. El flujo es laminar. No turbulento.
5. No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.
6. No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx₁ = v₁ Δt siendo v₁ la velocidad del fluido en esa zona. Si A₁ es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM₁ = ρ₁A₁ Δx₁= ρ₁A₁v₁Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM₂ = ρ₂A₂v₂Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la secciónA₁, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A₂. Por lo tanto ΔM₁ = ΔM₂, o:

ρ₁A₁v₁Δt = ρ₂A₂v₂Δt    (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que:
 

ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂   (ecuación 2) 

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ₁ = ρ₂ y la ecuación de continuidad se reduce a:

 A₁v₁ = A₂v₂

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal.

En este Link puedes encontrar una buena explicación de la aplicación de la ecuación:

https://www.youtube.com/watch?v=kD9aD4nx_sk

HIDRODINÁMICA

La hidrodinámica es la parte de la hidráulica que estudia la dinámica de fluidos incompresibles. Es decir el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello se consideran entre otras cosas la velocidad, presión, flujo y gasto del fluido.  Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

• Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.
• Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento.
• Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo.

En el estudio de la hidrodinamica, el teorema de Bernoulli, que trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías sintética, potencial y de presión de un liquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera.

La hidrodinamica investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles, es decir, a los líquidos, pues su densidad prácticamente no varia cuando cambia la presión ejercida sobre ellos.

Cuando un fluido se encuentra en movimiento una capa se resiste al movimiento de otra capa que se encuentra paralela y adyacente a ella; a esta resistencia se le llama viscosidad

Para que un fluido como el agua, el petroleo o la gasolina fluyan por un tubería desde una fuente de abastecimiento, hasta los lugares de consumo, es necesario utilizar bombas ya que sin ellas las fuerzas que se oponen al desplazamiento entre las distintas capas de fluido lo impedirán.

En este link pueden encontrar una buena explicación acerca de los principios de la hidrodinamica y su aplicabilidad: https://www.youtube.com/watch?v=ZzN3BDxqVRM

APLICACIONES:

La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación y cascos de barcos, turbinas, elices, turbinas y ductos en general.

El gasto se presenta cuando un liquido fluye a través de una tubería, que por definición es: la relación existente entre el volumen del liquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarde en fluir.

G= v/t

Donde:

G= Gasto en m3/s

v= volumen del liquido que fluye en m3

t= tiempo que tarda en fluir el liquido en s

El gasto tambien puede calcularse si se conose la velocidad del liquido y el area de la seccion tranversal de la tucveria.

Para conocer el volumen del liquido que pasa por el punto 1 al 2 de la tuberia, basta mutiplicar entre si el area, la velocidad del liquido y el tiempo que tarda en pasar por los puntos.

V= Avt

y como G=v/t sustituyendo se tiene:

G= Av

En el sistema CGS es gasto se mide en cme/s o bien en undad practica como lt/s.

EJEMPLO:

• Calcular el gasto de agua por una tuberia al cicular 1.5 m3 en un 1/4 de minuto:

        G= v/t

G=1.5/15= 0.1 m3/s

• Calcular el tiempo que tarda en llenarse un tanque cuya capasidad es de 10 m3 al suministrarle un gasto de 40lt/s

40lt/s 1m3/1000lt = 0.04m3/s

t=v/G

t= 10/0.04

t= 250 s

Hidrostatica

HIDROSTATICA

Estudia  las características y comportamiento de los fluidos en equibrio.

 De acuerdo al comportamiento de las moléculas hay dos tipos de fluidos.

• Fluido laminar: se presenta cuando cada región del flujo se mueve con velocidad constante y en forma paralela. Las trayectorias que describe dicho fluido se le conoce como líneas de flujo. En el flujo laminar estas líneas no se cruzan y por tanto no se cruzan.
• Fluido turbulento: el movimiento de las partículas no es constante de manera que las líneas de flujo se cruzan formándose remolinos.

Para el estudio de los fluidos tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:

- El flujo es laminar estacionario.
- Los fluidos son prácticamente incomprensible, es decir, que los aumentos de presión no alteran su densidad.
- No tiene viscosidad.
En este sitio encontraras una buena explicación a través de la historia de como ha sido implementada la hidrostatica en la vida cotidiana: https://www.youtube.com/watch?v=iRdRzkqkpB8

PRINCIPIO DE PASCAL

En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

El principio de Pascal afirma que la presión aplicada sobre un  fluido no compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.

Este tipo de fenomeno se puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este principio.

Definimos compresibilidad como la capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.

EJEMPLO:

• En un elevador de automóviles que se emplea en un taller, el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un émbolo de sección transversal que tiene un radio de 5 cm. Esta presión se transmite por medio de un líquido a un segundo émbolo de 15 cm de radio. ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido para levantar un auto de 13,300 N? ¿qué presión de aire producirá esta fuerza?

Se cumple que:  F1/A1=F2/A2

Entonces: A1*F2/A2=PI(0.05)²/PI (o.15)²*(13.300)=1.48*10³N

La presión:   P= F1/A1=  1.48*10³/PI(0.05)²=188KPa

EJERCICIOS:

1) Se desea elevar un cuerpo de 1500kg utilizando una elevadora hidráulica de plato grande circular de 90cm de radio y plato pequeño circular de 10cm de radio. Calcula cuánta fuerza hay que hacer en el émbolo pequeño para elevar el cuerpo.

2) Calcula la fuerza obtenida en el émbolo mayor de una prensa hidráulica si en el menor se hacen 15N y los émbolos circulares tienen cuádruple radio uno del otro.

3) Sobre el plato menor de una prensa se coloca una masa de 16kg. Calcula qué masa se podría levantar colocada en el plato mayor, cuyo radio es el doble del radio del plato menor.

4) ¿Qué proporción deberían guardar los platos de una prensa hidráulica para que, aplicando 40N de fuerza en el plato menor, podamos levantar un objeto de 80Kg en el plato mayor?

5) Una cuestión teórica: ¿qué partes del interior de una prensa hidráulica se ven sometidas a una mayor presión mientras aplicamos la fuerza en los émbolos?

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba con una fuerza  igual al peso del volumen de fluido desalojado.

El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.

EJEMPLO:

•  Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. 

El empuje viene dado por E = ρ_agua V_sumergido g,  la masa específica del agua es un valor conocido (1000 kg/m³), lo único que se debe calcular es el volumen sumergido, en este caso es el de la bola de acero. Se utiliza la fórmula del volumen de una esfera. 

Volumen: 5,236 * 10^-4 m³

E = ρ_agua*V_sumergido·g  = 1000 · 5,236 ·*10^-4 · 9,8 = 5,131 N

El empuje es una fuerza dirigida hacia arriba, y el peso de la bola hacia abajo. La fuerza resultante será la resta de las dos anteriores. 

W= mg = ρvg

_ρacero = 7,9 g/cm³ = 7900 kg/m³         

m = ρ_acero · V = 7900 · 5,234 · 10^-4 = 4,135 kg

P = m · g = 4,135 · 9,8 = 40,52 N

Fuerza Resultante: P - E = 35,39 N, hacia abajo, por lo que la bola tiende a bajar y sumergirse.

EJERCICIOS:

1. Calcular la fuerza de empuje ejercida sobre un cubo de hierro de 1.5 cm3 de lado, totalmente sumergido en agua. Cual sería el empuje si el cubo tiene sumergido un 50% de su volumen.
2.  Hallar el volumen desplazado por un bloque de madera de 1,3 cm3 que pesa 10N y flota la superficie del agua contenida en un recipiente.

     3. Un esquimal se encuentra sobre un bloque de hielo de 1.5 m3 de volumen, de manera              que la superficie superior del bloque coincide con la superficie del agua del rio en el cual           se encuentra. Determinar la masa del esquimal.

    

     4.Una canoa de 50 Kg puede desplazar un volumen máximo de 0,9 m³ de agua.                            ¿Cuantas personas de 85 Kg pueden subir a bordo de la canoa?.

LEY DE TORRICELLI

La velocidad del chorro que sale por un único agujero en un recipiente es directamente proporcional a la raíz cuadrada de dos veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero.

Matemáticamente se tiene:

v = raíz cuadrada ((2 * g) * (h))

EJEMPLO:

• Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1 :

Aplicamos el teorema de Bernoulli suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor .Aplicamos el teorema de Bernoulli suponiendo que la velocidad del fluido en la sección s1 es despreciable, v1 es más o menos 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor s2.

Por otra parte , el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 esta en contacto con el aire a la misma presión, luego p1=p2=p0.

Finalmente, la diferencia entre alturas y1- y2 = H. siendo H la altura de la columna del fluído.

La ecuación de BErnoulli:

Con los datos del problema se escribirá de una formamás simple:

MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS 

Los fluidos son todos los materiales que fluyen, es decir, no son sólidos. Según esta definición podemos clasificar como fluidos a los líquidos y a los gases. También se llaman fluidos a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca fuerza de atracción, cambiando su forma. 

Lo que ocasiona que la posición que toman las moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellas, ya que estos fluyen.

Los fluidos en movimiento como su nombre los indica son fluidos que se mueven, por ejemplo el aire dentro de un tubo cuando soplas.Cuando se trata de líquidos, estos pueden estar quietos en un recipiente y de sus propiedades se ocupa la hidrostática o moverse por ejemplo por una cañería, caso estudiado por la hidrodinámica. Un fluido en movimiento también puede ser el viento o el aire que respiramos, un río, una catarata o la sangre que bombea el corazón y recorre todo el cuerpo.

Trabajaremos los fluidos usando algunas simplificaciones que permitirán realizar los cálculos
1.El fluido es incomprensible.
2.La temperatura no varía.
3.El flujo es estable, y entonces la velocidad y la presión no dependen del tiempo.
4.El flujo no es turbulento, es laminar.
5.El flujo es irrotacional, de modo que no hay circulación.
6.El fluido no tiene viscosidad